高中物理竞赛

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入门篇

高中物理竞赛是一项很有挑战性的竞赛，但是对于初次接触的同学来说，可以从简单的题目开始做起。

以下是一道典型的高中物理竞赛入门题：

有一系列重量相等的小球按顺序从高处落下，每个球在弹地反弹的高度是前一个球每次反弹高度的 $\\frac{1}{2}$，试求第 $n$ 个球在第二次落地时经过的总路程。

通过分析题目可以得到关键信息：每个球在弹地反弹的高度是前一个球每次反弹高度的 $\\frac{1}{2}$。因此，我们可以用等比数列的知识求出每个球反弹高度的公式：$\\frac{1}{2^n}H$，其中 $H$ 为第一个球反弹的高度。

总路程可以表示为：$S = (2n-1)H + 2\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\frac{1}{2^i}H$，将等比数列求和后代入可以得到 $S = \\frac{4n-3}{2}H$。

中级篇

对于掌握了基本物理知识的同学来说，可以尝试一些中等难度的竞赛题目。

以下是一道典型的高中物理竞赛中级题：

求半径 $r$ 的均匀圆柱体在倾角为 $\\alpha$ 的平面上的投影面积。

解法：先求出圆柱体在水平面上的投影，是一个直径为 $D=2r$ 的圆，其面积为 $\\pi r^2$。

那么在倾斜角度为 $\\alpha$ 的平面上，其投影以直的形状呈现，其长度为 $(D/2)\\cos\\alpha=r\\cos\\alpha$，这一截面的面积为$(D/2)^2\\pi\\sin^2\\alpha=\\frac14r^2\\pi\\sin^2\\alpha$。所以其投影面积为 $S=\\frac14\\pi r^2\\sin^2\\alpha$。

高级篇

对于有较强物理素养的同学来说，可以挑战一些高难度的竞赛题目。这些题目需要在灵活运用物理知识的同时，具备创新思维和分析能力。

以下是一道典型的高中物理竞赛高级题：

一根长为 $l$ 并扭转了角度 $\heta$ 的弹性绳，两端放在水平桌面上，求两段弹性绳所受张力的夹角。

解法：首先，假设弹性绳的弹性系数为 $k$，分别记弹性绳受力点与水平面的夹角为 $\\alpha$ 和 $\\beta$，弹性绳在两个端点处的切线斜率分别为 $k_1$ 和 $k_2$。

根据弹性绳的特性，其弯曲的程度与所受内力成正比。因此，可以将弹性绳分割成若干个微小的线段，每段长度为 $dx$，弯曲角度为 $d\heta$，则该段两端受力大小相等，可列出关系式：

$k(x+\\frac{dx}{2})d\heta\\cos(\\alpha+\\frac{d\\alpha}{2})=k(x-\\frac{dx}{2})d\heta\\cos(\\beta+\\frac{d\\beta}{2})$

将 $\\cos$ 函数在微小角度下近似为 $1$，并忽略高阶无穷小量，可将上式简化为：

$\\frac{d\\alpha}{dx} = \\frac{k_1}{k}\heta$

$\\frac{d\\beta}{dx} = -\\frac{k_2}{k}\heta$

在 $x=0$ 和 $x=l$ 两点处，有 $\\alpha=0$，$\\beta=0$，因此可得到初始条件。然后，可以将上述两个微分方程直接积分，最终得到：

$\an\\alpha = \an\heta \\cos(\\frac{\heta}{2})$

$\an\\beta = \an\heta \\cos(\\frac{\heta}{2})$

由此，可得到张力之间的夹角为 $\heta$。